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2011年12月31日 土曜日 大晦日ということで、しかたなく あ、いえ、やはり一年の締めは書いておくべきだろうと思いまして…（ ＾ω＾） そうそう、どうでもいいんですけれども 「大晦日だよドラえもん３時間スペシャル」がないと 大晦日だという気分がしないのはワシだけでしょうか？ え？ これ、去年も書いた？（ ＾ ω ＾ ） 2011年も残すところわずかとなりました 今年もあんまり更新できませんでしたけれども なんだかんだでワシの人生の中では大きな変化のあった一年でした まずは、無事に大学院への進学が決まったことでしょうか（ ＾ω＾） （厳密にはまだ留年しちゃうという可能性も存在しているんですけれども） 抽象代数学という分野の「表現論」と呼ばれる学問を究めていく予定 ここまで来た以上は、このまま博士号まで突っ走りたいな、なーんて妄想中（ ＾ω＾） 需要があるかは分かりませんが、今後、そういう専門的な内容の雑記を書くことがあるかもしれません カービィシリーズのゲームが二作品も発売されたことも大きいですね 来年2012年にカービィは生誕20周年を迎えますが、それを目前にして豊作の年でした ゲーム『スーパーマリオブラザーズ』の発売から25周年を迎えた2010年は公式にイベントが催されていましたし マリオが登場してから30周年にあたる今年2011年も、有志たちが様々なイベントを企画し、盛り上げていましたから 来年はさぞ公式にも非公式にもカービィフィーバーな年になることでしょう（ ＾ω＾）（願望） うーん、ワシも何かしら企画したいですけれども もう『カービィ検定ＥＸ』は公開しちゃいましたし、どうしようかな（；＾ω＾） ええと、あとですね 今年の夏くらいから淡水魚を飼い始めました（ ＾ω＾） ただいま帰省中のため、水槽の写真などがＵＰできませんし これについてはまた静岡に戻ってから雑記として書いていこうかなーと… 以上、ほとんど個人的な近況報告だけになってしまいましたが 今年も一年間ありがとうございました ｍ（＿＿）ｍ 来年も当サイトをよろしくおねがいします！（ ＾ω＾） それでは、良いお年を！ 2011年12月24日 土曜日 お久しぶりです、今日は12月24日です（ ＾ω＾） アポロ８号が史上初の月周回飛行を成功させた日ですね アリアン１の一号機が打ち上げられた日でもありますね あとなんでしたっけ、クリスＭＡＴＨ・イヴ？ よく分かりませんけども、おそらく数学について語り合う日なのでしょう そんなわけで今日は（今日も？）数学（というよりかは算数）に関する話題 まずはこちらをご覧ください（ ＾ω＾） 【６×８は正解でも８×６はバッテン？あるいは算数のガラパゴス性】 http://blogs.itmedia.co.jp/magic/2011/12/6886-2d5b.html …ご覧になりましたでしょうか？（ ＾ω＾） 発端は上記のブログの筆者の娘さん（小学二年生らしい）の試験の採点 掛け算の順序に関する話題でして、娘さん、答えは合っているのに不正解にされていますね 多くの有名ブログなどでも紹介され、わりと論争になっているようです（ ＾ω＾） せっかくですので（？）ワシも一つ、見解を書いておこうかなと思うんですけれども ご存知の通りワシは簡潔に文章を書くことができません 一見関係無さそうな前置きから入ります（ ＾っω＾） 高校の数学IIにおいて「虚数」というものを学習します とりわけ「虚数単位」とは、二乗するとマイナス１になるような値のことで 我々が日頃当たり前のように用いている実数（１とか、ルート２とか）ではありません そのためか、実数（real number）に対して虚数（imaginary number）と命名され 虚数単位は imaginary の頭文字をとりｉで表されるのが慣例となりました しばしば、虚数を習いたての高校生が次のように言っているのを耳にします 「虚数なんて実在せえへんやんけー、こんなん勉強してなんの意味があるんやー」 「imaginaryとか、つまり 想像上の ゆー意味やんか 数学者の妄想やんけー」 もしかすると高校生時分に似たようなことを感じていた人も多いんじゃないでしょうか？ ワシ自身も授業で初めて虚数が出てきたときは、こんな感想を抱いていたかもしれません でもでも、よくよく考えたら、それって当たり前のことだったんですよ 「先生、虚数なんて実在しませーん！！」 はい、ワシもその通りだと思います（ ＾ω＾） 「先生、だからボク虚数なんて理解できません！！」 いやいや、それは違うのですよ（ ＾ω＾） なぜか？ たしかに虚数は実在しません しかし、よくよく考えてみたら実数ですら実在しないものなんですよ そもそも「数」というもの自体が概念でしかありません 我々が日常当たり前のように使っている１とか２とかですら実在はしません 実在しているのは「 "１という概念" や "２という概念" が適用できる対象」であり そこらへんに "１という概念" そのものが転がっているのではないわけですよ そういう事情は虚数についてもまったく同じで、虚数そのものは実在しませんが 「虚数という概念を適用できる対象」は実在しているわけですね（例えば、電子の振る舞いなど） なにも「数」というものだけに限らず、数学そのものが概念の集まりのようなものです 我々は日頃から実在しないものを使いこなしていたというわけなんですよ（ ＾ω＾） さて、ここからは「実在しないものを使いこなす」ということをもうちょっと具体的に見てみましょう 例えば、次のような問題を考えてみましょうか（ ＾ω＾） リンゴが一つあります リンゴをもう一つ持ってきて、これと合わせると リンゴはいくつになるでしょう？ こんなもん考えるまでも無いと思うでしょうけれども この問題を解く過程をあえてめちゃめちゃ丁寧に記述すると この自然言語で書かれた内容は、数学の概念でいうところの１＋１と対応する １＋１＝２なので、求める答えは２つであると分かる …というような感じになりますね 何がいいたいかというと、我々はこういった文章題を解くにあたり その題意にぴったりはまるような数学の概念を対応させて（この作業を「数学化」と呼んだりします） あとはその数学の概念のほうだけをこねくり回して答えを得ているのですよ すなわち、もしも数学の概念を対応させる段階で（数学化の段階で）間違ってしまえば そこからいくら正しくこねくり回したって（数学的に正しい事柄だけを並べていても）正しい答えには至らない場合も多いのです 例えば、次のような問題を考えてみましょう 泥団子が一つあります 泥団子をもう一つ持ってきて、これと合わせて丸めると 泥団子はいくつになるでしょう？ この問題に対して、うっかり１＋１という数学の概念を対応させてしまうと そこからの筋道は１＋１＝２という数学的にまったく問題の無い事柄でありながら 正しい答えである（元よりも大きめの泥団子が）１つという結論に至ることはできません 問題と途中式の間に埋めることのできない断絶が存在しているのですね （途中式の１＋１から結論の２へ至るまでは断絶なく繋がっているわけですけれども） では、どうしてこの問題には１＋１という概念が適用できないのでしょうか？ １＋１という数式の持っている意味が、この泥団子の問題が指している意味とは異なるからですね つまり逆に言えば、数学化という作業は 自然言語で書かれた問題が表している意味を正確に読み取り それと確かに合致する意味を持った数学の概念を対応させなければいけないわけです そこんところのぴったりとした噛み合いがあってこそ、そこからの過程は初めて論証として意味を持つのですよ 実在しないものを使いこなすということは、あまり意識してないでしょうけれども、わりと大変なことなのですね 残念なことに、この数学化という作業を意識できていない人は大人でも多く とりわけ大人が小学生レベルの問題を解こうとすれば、子供よりも問題の見通しが立つぶん ないがしろにされやすい部分でもありますね しかし、ここがおろそかであっては（何事に対しても）きちんとした論証ができているとはいえません（；＾ω＾） 数学化が意識できていないということは、与えられた問題に対し 感覚的にただなんとなく数学の概念を当て嵌めているに過ぎません もちろん、そういった「こうすりゃ解ける気がする」みたいな第一感というか 数学的感覚みたいなものもスゴく大切なんですけれども、ただそれを根拠として 構成された理論は、どんなに興味深い内容であっても砂上の楼閣に過ぎません そりゃあ本人にしてみればもはや「なんとなく」ではなく 確証みたいなものを感じているのかもしれませんけれども、だからといって 例えば証明問題に「私にしてみればこんなの自明だから証明の必要はなかろう＾＾」とか書いても 丸が貰えないのと同様に、本人が分かっているかどうかは関係無く 答案にギャップ（論理の断絶）がある以上は、それは論証として不完全なのですから 何かしら減点されても文句は言えないわけですよ こういう話になると、いつも決まって 試験というのは生徒の理解度をみるためのものだろう、生徒がどんなに深く理解していようと 紙面上に瑕疵があれば減点の対象になるなんて本末転倒である だとか言い出す方々が出てきますけれども そもそも試験自体が紙上の出来不出来で生徒の理解度を測ろうという手段の一つなんですから （これは必ずしも生徒の出来不出来の度合いと完全一致するわけではないが、信頼のおける一つの指標となるわけですね） その採点に紙外の要素を導入しろだなんて、それこそ馬鹿げてるとは思わないんでしょうかね？（；＾ω＾） 極論すれば、誰もが認める優秀なお子さんは試験で何を書いても満点にしなければならないなんて事態になっちゃいますよ 心配せずとも、有能な教師は試験の点数だけでお子さんの可能性を判断したりはしません（ ＾ω＾） 答えだけを書けば良いという試験なら採点に関して論争は起きないのでしょうけどもね 文章題の途中式を書かせるような、生徒の論証力を見るような問題においては 最終的な答えが合っていようとも、そこに至るまでの筋道にギャップが無いかどうかはちゃんと見なければなりませんし そこに何かしらのギャップがあれば減点されても文句は言えません 繰り返しになりましたが、これ当然のことでしょう？ 極端な例ですと、ラマヌジャンが小学校の定期試験を受けたら悲惨な点数になるかもしれませんね（ ＾っω＾） さて、前置きはここまでにして、ようやくこの辺から本題に入ります（ ＾ω＾） といっても、ほとんどワシの主張は言い尽くした感がありますね もう何が言いたいかわかるでしょう 議論になっているのは以下の問題の採点についてでした ８人にペンをあげます。１人に６本ずつあげるには、ぜんぶで何本いるでしょうか。 掛け算の理解度を見ることを意図して作問されたものですね ここで、掛け算が持っている意味というものを見てみましょう 小学校２年生において、新たに掛け算という概念を教えるときには 掛け算の式、例えば８×６は以下のような意味であると教わります（学習指導要領を参照）  「算数セット」とかありませんでした？ その中に、こんな棒の束もありましたよね！ つまりですね ある問題に対して８×６という掛け算を適用するためには その問題の意味するところが上の画像のような状況でないといけないわけですよ この問題だとどうでしょう？ 違いますよね？ 問題文が指している意味とは、この画像のような状況ですよね？  この状況に対して、いきなり「ああ、掛け算すれば良いんだから８×６だ！」なんていうのは 残念ですけども数学化の過程をまったく意識していないといわざるを得ません（どうしてこの問題に８×６が適用できるのでしょう？） とりわけ「８のほうが問題文に先に出てきているから８×６だ！」なんていうのは 問題の本質とはまったく関係のない事柄を根拠に立式してしまっているという点で重症と言わざるを得ません え？ 問題文の示している「８人に、一人６本ずつあげる」という文章が上の画像のような状況とは限らない？ 「１人に１本ずつ、８人に配る」という作業を６回繰り返す状況を考えれば８×６でいいですって？ なるほどたしかに一理ありますね（ ＾ω＾） ぶっちゃけいうと、ここらへんはまだまだ議論の余地があり 問題文が指している状況というものは往々にして一意的には決まらないでしょう しかし、まず第一に、あなた、本当にお子さんがそう考えて８×６と書いたと主張なさるおつもりですか？ おっと、こういう「子供がそんな考えに及ぶはずが無い」なんていう考えはいけませんね（ ＾ω＾） 子供の可能性をはなから否定しにかかるようでは教師という職業は務まらないでしょう （ワシは教師ではないので、あえてまずは上記の理由を出しました） もう一つ、もしもその考察により立式するなら、途中式は (１×８)×６となるべきではないでしょうか？ どちらにせよ、この問題に対していきなり８×６と立式するのは論証としてギャップがあると解釈されても仕方ないんじゃないかな たとえ減点されてしまったとしても、不自然な状況ではないと思いますね（ ＾ω＾） まあ、答えまでＸにしちゃうというのはなんだかなと思いますけどね もしもワシが先生なら、途中式のみを△にするか、もしくはとりあえず○にしておいて （途中式まで正確に論証できているお子さんは◎とかにしておいて）試験を返したときにでも 「ここんところが◎だったり○だったりする人がいるだろうけども、実はな〜」みたいな切り口で解説をしますね とはいえ、記事を読んでいるかぎりは、この娘さんの担任は試験前にちゃんと 「途中式の掛け算の順序が逆だったら答えが合っててもＸにするからなー ちゃんと理解して試験に臨めよー！」と 予告していたようですから、この裁量でもワシは納得ですけどもねぇ…（；＾ω＾） 正直なところ、今回の騒動を見ていて最も呆れたというかマズいんじゃないかなと思ったのは 「こんなんどっちでもいいじゃん、この教師はキチガイ」みたいな発言をしておられる方々が散見されたことですね 別に、日常生活においてはわざわざ論証する必要がある問題に直面することなんてあまりないでしょうから 数学化なんて意識していないでしょうし、少なくとも小学校で学んだ掛け算の意味なんて忘れている人も多いでしょう そこは仕方がないことだとは思いますけどね でもこういった話題を目にしたときに まったくの思考停止状態で「この教師はキチガイ」だとか断言できてしまうあたり（それも公然と） ホントこういう方々には論証力というか、そういうものはまったく根付いてないんだろうなあと なんだか空しくなるばかりでした、はい（；＾ω＾） こうしてみると、教師という職業はホント大変なんだろうなと思いますね 論理的に妥当な採点をしても、今回のようなかたちで不特定多数から理不尽な罵倒を受けることもあるんですから ワシも少し前までは教師を志しており、大学では教職科目も取っておりましたが、止めました 別に今回のようなことがあったらイヤだから止めたというわけではありませんけれども 改めて今回「ホント止めて良かったかも（ ＾っω＾）」なーんて感じるのでありました、ははは 補足１：交換法則について 交換法則とは、意味が異なる二つの数式ａ×ｂとｂ×ａの結果が同じになるということを示しているに過ぎません すなわち、交換法則が成り立つからといって、二つの数式ａ×ｂとｂ×ａが同じ意味であるということにはなりません 「ａ×ｂ＝ｂ×ａだから、どちらの数式も同じ意味だ」なんていう人は、そもそも等号の意味が理解できていません ここでいう等号とは、ただ結果的に両辺の値が等しくなるぞということを主張するものに過ぎません 例えば６×８＝４！×２ですけれども、明らかに左辺と右辺では意味が変わってきますよね？ もしも今回の問題の途中式として右辺の式が書いてあったら むしろ逆に「こ、これは一体…！？」と採点に困るかもしれませんけど（笑） 補足２：例えばこんな問題は？ 白丸の個数はいくつでしょう？ ●●●●●●●● ●●●●●●●● ●●●●●●●● ●●●●●●●● ●●●●●●●● ●●●●●●●● この問題に対しては８×６と６×８のうち どちらを適用するのが正しいでしょうか？ ずばり、この場合ならどちらでもＯＫですよね（ ＾ω＾） 横に８個の●が並んでいるのを一塊と見なし、それが６列あると考えれば８×６が適用できますし 縦に６個の●が並んでいるのを一塊と見なし、それが８行あると考えれば６×８が適用できますね 補足３：別解について 例の設問は６×８＝４８を正解と見なしているわけでしたが 例えば途中式の部分を６＋６＋６＋６＋６＋６＋６＋６＝４８と書いたとしても 論理的なギャップは見られませんから、おそらくこれでも正解だったんじゃないでしょうか？ ６＋６＋６＋６＋６＋６＋６＋６＝６×８＝４８とでも書いてあれば完璧だったんじゃないかな（ ＾ω＾） 他にも（これは小学二年生のテストの答案には書けませんけれども） ４８÷８＝６より、４８本の鉛筆を８人で分ければ一人当たり６本ずつになると分かる これは題意を満たしているから、求める答え（の一つ）は４８本であると分かる …なーんてやったとしても（答えの一意性はともかくとして）論理的にギャップはありませんよね （これは普通とは逆に、答えから問題へと続く切れ目のない論理の筋道を構成したかたち） もちろん、どうして４８本という数字を閃いたのかは定かではない答案ですけどね（；＾ω＾） 2011年10月21日 金曜日 一昨日からＱＭＡ次回作のロケテストが始まりましたね なにやら色々と大幅に変わるようなので、楽しみですね（ ＾ω＾） 新しいクイズ形式も登場するらしいですよ！！ …で、さっそくなんですけれども 作りました（ ＾ ω ＾ ） こちら  気付いたことやご意見やらありましたら一言コメントからどうぞ（ ＾ω＾） K〇NAMI：「コイツ事故にでも遭わねぇかなー」 2011年10月12日 水曜日 とにかくこちらをご覧ください（ ＾ω＾） 勉強なんてやってる場合じゃねぇ！！（ ＾ ω ＾ ） 2011年9月26日 月曜日 ドヤッ（ ＾ ω ＾ ）  久しぶりに更新したかと思ったらコレかよ （世論） 2011年8月17日 水曜日 半夏生のとき以来ですね、お久しぶりです（いつもの挨拶） えーと、とりあえずまずは近況報告といきましょうかね（ ＾ω＾） 今から大体一ヶ月前に院試の合格発表があったのですが 無事に受かっておりまして、とりあえずは一安心 あとは大ポカやらかして留年しないように頑張るだけ…（笑） とはいえ、入院する（大学院へ進学すること）ということは 真面目に研究をしていくということなので、学部生のあいだに それ相応の学力を身に付けておかねばなりません あと約半年間、大ポカをやらかさないというのは当然として 院生として生きていけるだけの知識を得なくてはならないわけですね とどのつまり、夏休みは忙しいのでロクに更新はできそうにありません 決して更新するのが面倒臭いからというわけではないのですよ（ ＾ ω ＾ ）← さて、そんなわけで（どんなわけだ）今日は数学の話題を（ ＾ω＾） グーグルのトップページを覗いてみると、ロゴマークが その日に因んだ独特のデザインになっていることがありますが 本日は以下のようなデザインになっているんですね  このサイトをご覧になってる方々には数学好きが多いようなので ぶっちゃけ、いちいち説明するまでもないとは思うのですけれども これは「フェルマーの最終定理」をあしらったデザインですね
ｎ＝２ですと、例えば ３２＋４２＝５２ とか ５２＋12２＝13２ とかが存在するわけですが ｎが３以上になると、もうこういうものは存在しませんよ、という主張なわけですね 命題としては中学生にでも理解できるものであり、なんか簡単に証明できそうにも見えますが 1995年にアンドリュー・ワイルズによって証明されるまで、述べられてから実に約360年間に渡り 各時代の最強の頭脳をもってしても解決できなかった、そんな証明問題だったわけです（ ＾ω＾） あ、そうそう、なんで本日のロゴマークのデザインがコレなのかというと どうやらフェルマーの生年月日（の諸説ある中の一つ）が1601年8月17日なんだとか つまり、その説を支持するなら今日はフェルマーの生誕410周年記念日というわけですね（ ＾ω＾） 「フェルマーの最終定理」は長らく数学界の未解決問題として君臨してきただけあって 解決されたときは、当時のワシがおぼろげに覚えているくらいには話題になっていました 大学入試においても、そうした話題を盛り込んだ出題がなされたこともあり 1998年度の信州大学の入試問題では以下のような問題が出題されていました
「ぶっちゃけ、そんなの存在しないんだけど、もしも存在したら…」という趣旨の、なかなか風変わりな問題ですね ｎ＝２の場合（ピタゴラス数の組のうち）どれか一つは３の倍数であることを示せという問題は、問題集でもお馴染みですし これも「楽勝だ！」と感じる人は多いのでしょうが、いざやってみると、わりと手間が掛かりますよ（ ＾ω＾） 「フェルマーの最終定理」に触発されて数学の道へ進んだ人も多かったそうで（ワイルズもそうだったらしい） 言うなれば「一つの問題が、多数の偉大な数学者を生み出し、数学界を発展させている」といった感じだったんだとか それほどまでに多くの人々の人生に影響を与えた理由は、主張の簡明さもそうですが やはり個人的には「なんか俺でも証明できそう！」という感じの絶妙な匙加減にあったのではと思いますね（ ＾ω＾） 中学生にでも意味が分かるような未解決問題と言えば 例えば「双子素数は無限にあるか？」や「奇数の完全数は存在するか？」などがありますが ぶっちゃけ、こちらはあんまり「やればできそう！」という感じはしません（いや、ワシの主観ですけども） そういうバランスが巧くとれた未解決問題となると、かなりレアだったのではないかと（ ＾ω＾） あえてなんかのＲＰＧみたいな表現をすれば 「とてつもなく強大なんだけれども、なんだか頑張れば勝てそうな気もする」というくらいの魔王 勇者たちは魔王を倒すために切磋琢磨し、着実に力を身に付けていく、それでも魔王にはなかなか勝てない しかし「絶対に勝てるわけが無い」みたいな絶望は感じないから、希望を捨てずにまた向かっていける そういう、ある種の相乗効果というか、需要と供給の関係というか、敵対の構図ではあれ「良い相手」というか そんな魔王がやられてしまったというのは、ある種の「もったいなさ」みたいなものを感じますね（ ＾ω＾） 「フェルマーの最終定理」が解決されたからといって、次の日から便利な世の中になるわけではありません でも「フェルマーの最終定理」が解決できなかったからこそ、数学界は目まぐるしく発展してきた やっぱり、ＲＰＧよろしく、世界がうまく回るためには魔王が必要なんですよ（笑） むしろ、もっと別のことに費やされるべきだった頭脳が長年にわたり浪費され続けてきたのであり 魔王さえ居なければ、実は世の中はもっと便利になってたんじゃないかという主張も考えられますけど（爆） まぁなんだ、その、あれだ（ ＾ω＾） とりあえずワシの立場としては小文字じゃないほうの理念を支持しておくとしましょう（笑） そうすると、やはり魔王は供給され続けるべきであると思いませんか？（ ＾ ω ＾ ）← 「フェルマーの最終定理」は滅ぼされてしまったわけですが、せっかくですし 今回は後継となりうる魔物を何匹か紹介していこうかなと思います（ ＾ω＾） まずはお膳立てから
ここで、以下の命題は未解決問題です（ ＾ω＾） つまりは先代魔王の後継候補であり、倒せば有名になりますよ！
日本語でおｋ（ ＾ ω ＾ ） 「フェルマーの最終定理」はあれほど分かりやすかったのに！？ これはいったい！？ 「ａｂｃ予想」だとか、名前だけはちょっと洒落てるけど！！ …とか、そんな風に思ったあなた、まぁまぁもうちょっと付き合ってください（ ＾ω＾） まずは独特の言い回しに関して補足をしておくと 「ほとんどすべての 〜 に対して」というのは、ちゃーんとした意味のある正式な数学用語でして ここでは「有限個の 〜 を除いて」という意味で使用されております（ ＾ω＾） つまり「有限個の（ａ、ｂ、ｃ）を除いて ｃ＜rad(ａ×ｂ×ｃ)１＋ε が成立する」 もっと言い換えると「ｃ≧rad(ａ×ｂ×ｃ)１＋ε となるような（ａ、ｂ、ｃ）は有限個しかない」という意味ですね さて、そんな有限個しかない（ａ、ｂ、ｃ）の一つの例として、例えば（ａ、ｂ、ｃ）＝（１、８、９）があります rad(１×８×９)＝rad(２３×３２)＝２×３＝６ ですから、このときたしかに あるε＞０が存在して ９≧６１＋ε となっていますね（ ＾ω＾） 同様にして、なにかしら例外の（ａ、ｂ、ｃ）をとってきて計算すれば、結果的に上のような不等式が出てくるわけですが εの値を大きくしてゆくと、右辺はどんどん大きくなりますから、限界となるεの値をとることができますね 例えば（ａ、ｂ、ｃ）＝（１、８、９）の場合を計算すると ９＝６１＋0.2262943… ですから （ａ、ｂ、ｃ）＝（１、８、９）は０＜ε≦ log６９ー１（＝0.2262943…）について、元の命題の例外となります こうして得られるεの範囲が広いほど、いわば「レアな例外」ということができるわけですが 実は、現在までに発見されている「最もレアな例外」は（ａ、ｂ、ｃ）＝（２、３10×109、23５）という組み合わせで 23５＝(２×３×23×109)１＋0.6299116… により、それでも限界となるεの値は約0.63ほどにしかなりません つまりε≧ 0.63 の範囲ですら「ａｂｃ予想」の例外になるような（ａ、ｂ、ｃ）は一つも発見されていないのですから ゆるくしてε＝１あたりに対しては、そのような例外となる（ａ、ｂ、ｃ）は存在しないだろうと予想できますね というわけで、なんだかいまいちスッキリ感に乏しかった「ａｂｃ予想」から 以下のような「ゆるめのａｂｃ予想」とでも呼ぶべき命題が予想できます（ ＾ω＾）
この「ゆるめのａｂｃ予想」も未解決問題なので、倒すと有名になれますよ（ ＾ω＾） これくらいの内容なら「もしかして、頑張れば倒せるんじゃないかな？」ぐらいに思いませんか？ 命題としては肯定的に解決されるのが理想ではありますが なんかの弾みでドーカンと反例呪文がクリティカルヒットしたら、あなたの名前が数学史に残ることに（笑） ところで、これは「フェルマーの最終定理」と密接に関係しておりまして なんと、上記の「ゆるめのａｂｃ予想」を肯定的に討伐することができれば その結果を使うことで、以下のように「フェルマーの最終定理」をも攻略することができるのです！（ ＾ω＾）
あの何百ページあまりにのぼる大論文が、たったのこんだけで終わっちゃうんですね いやいや「ゆるめのａｂｃ予想」を証明するのに何千ページも必要だというオチかも知れませんけども… 最後に、もう一つだけ未解決問題を載せておきます（ ＾ω＾）
なんか「最初からこっちを紹介しとけよ！！」とか思った人もいるかも知れませんが 「フェルマーの最終定理」の発展バージョンですね なんと魔王はまだ死んではいなかったのだ（ ＾ω＾） ちなみにですけど、この魔王を倒せば賞金も出るようで、解決したら10万USドルだそうです 日本円に換算すると、大体765万円といったところですね（ ＾ω＾） 誰か倒してワシに一割くれ！！（ ＾ ω ＾ ）（そんなオチかよ） 2011年7月2日 土曜日 お久しぶりです（ ＾ω＾）（いつもの挨拶） 本日は一年のちょうど真ん中に位置する日ですね すなわち、2011年も既に半分が過ぎてしまったわけで 皆様、有意義に過ごせましたでしょうか？（ ＾ω＾） ワシですか？ そりゃもうベラボウに有意義な暮らしをしておりますよ（ ＾ω＾） ゼミの予習などが忙しく、一日のうちの多くを大学で過ごしておりますし 理学部数学科に在席する学生として模範的なものになっておりますね 更新が停滞していたのは、ワシが学生としての本業にしっかり取り組んでいたがゆえの事象でして 決して「下宿のエアコンが壊れたため、大学で涼んでいることが多くなったから」とか そーいうしょーもない理由ではないのですよ、ほんとほんと（ ＾ω＾ ） さて、こうしたジョークが半ば慣例となってきたのは心苦しい限りですが、本題へ 今回は、年度始めに公開した「あの検定」に関する話題をちょっとだけ（ ＾ω＾） 年度始めに『カービィ検定ＥＸ』を公開してから３ヶ月が経過しました 前回と比べて難易度を跳ね上げたつもりでしたが、いかがでしたでしょうか？（ ＾ω＾） 作り手側の感想としては、やっぱり世の中にはスゴい人がいっぱい居るんだなという感じですかね ぶっちゃけ、ＳＳランク（ボーダーは4000点）なんて一週間くらい出ないんじゃないかと思ってたんですが 公開からものの数時間もしないうちに出されてしまったばかりか 「こいくち」モードを一回目から２ミスに抑えている人まで居ました 驚いたのはもちろんですけども、カービィ界は安泰だなと思いましたね（ ＾ω＾） 自分で言うのもあれですが、ウリというか、とりわけ成功したと思うのは「カバーしている範囲の広さ」です カービィのクイズというと、普通は歴代のゲーム・漫画・アニメに関する出題ですとか 掘り下げたとしてもせいぜいアンソロジーコミックに関する出題までじゃないかと予想すると思うんですが 今作では「とにかくカービィのすべてを網羅してやろう」という、そんな勢いで製作しました 開発中止になったゲーム作品、単行本化されていない漫画作品、同人サークル・非公式ファンサイト まさに大風呂敷を広げたような（ほんと、冗談としか思えないような）カービィクイズは （今のところは）唯一無二なんじゃないかと自負しております（ ＾ω＾） もちろん、かなりの自信過剰だとは思うけれども それぐらい宣言しちゃっても良いかと思えるくらい 自分では満足のいく内容に仕上がったなと思っております（ ＾ω＾） ゲームもすべてやりなおし、アニメもすべて観なおし、漫画もすべて読みなおし 辞書を片手に海外の資料もあさり、ソースの確認に東京の国立図書館などへも行きました（笑） 文字通り心血を注いで製作しましたので もしもまだ未プレイだという人は、どうか遊んでやってください（ ＾ω＾） そうそう、またもしかしたら記事を載せるかも知れませんが ８月４日には新作ソフト『あつめて！カービィ』が発売されます！ 発売後、数日したら同作品に関する問題を新問として大量放流する予定ですので 既にやり込んで飽きてしまったという人も、またよろしくお願いします（ ＾ω＾） では本日はこのくらいで… なんかメチャメチャ遊んでるように見えたかもしれないけど ものすごーく勉強も頑張ってるんだよ！！！（ ＾ ω ＾ ） 2011年4月1日 金曜日 これ（残念ながらなんのジョークもありません） 2011年3月31日 木曜日 どうも、げほげほです（ ＾ω＾） 世間は震災の余波でまだまだ混乱していますが それでもわりと活気が戻ってきたように感じられます 29日にはQMA8も稼働しましたね 懐かしいキャラクターたちも戻ってきましたし 「このときをずっと待っていたのだ！！」と 稼働初日から気炎万丈に廃プレーなさった人も多そうです ワシも稼働日にはそれなりにプレーしまして、久々の「全員そろった」ＱＭＡを堪能してきました（ ＾ω＾） ぶっちゃけ、今のところシステム上はＱＭＡ７とあまり変わらないように思うのですが ここ一年ほど見なかった懐かしいプレイヤーさんともマッチングしましたし なんだかずいぶんと違って感じられましたね 不思議なものです 今後は「サークル活動」ですとか、新要素が次々と盛られていくようなので、そっちにも期待が膨らむところですね もしや、このページをご覧になってる皆様と通信対戦できたりするんでしょうか？（ ＾ω＾） さて、挨拶はこんなところにして、本題へ参ります 今回は一つ、重大なお知らせがあります（ ＾ω＾） 毎年、４月１日には何かしらしょーもないネタをやってきた我がサイト 前年度はホントにしょーもない記事でお茶を濁し、その折に 「来年はちゃんとやるぞ！？（ ＾ω＾）」とか書いた気がするんですけども… まことに申し訳ありませんが 今年はエイプリルフールを自粛させていただきます（ ＾ω＾） いやぁ〜 だってアレじゃないっすかぁ〜 世間が震災で大変だというのにオフザケなんてアレッスよ〜 不謹慎ッスよ〜 ここは公開された場ッスからね〜 決して面倒臭いというわけじゃないんッスよ〜〜？（ ＾ ω ＾ ） ボクはあくまでも青少年に健全なサイトを目指しｔ…うぎゃぁ！！ すすす、すいません！！ ちゃんと代替案もありますので殴らないでください（ ＸωＸ） えっと、代わりに、と言うのもアレなんですが… ４月１日の午前０時に「カービィ検定ＥＸ」を公開します（ ＾ω＾） ウソじゃないですよ？ 今日はまだエイプリルフールじゃありません まぁ、アレです 今年のエイプリルフールはフザケた内容の記事こそ書きませんが フザケた難易度の検定FLASHを公開するということで、どうか一つ矛をお収めください（；＾ω＾） とまぁ、そーいうことですが あんまり０時前に更新連打とかしないようにお願いします（ ＾ω＾） 2011年3月15日 火曜日 まだ東日本大震災の傷も癒えないなか 静岡県東部でも震度６強の地震があったわけですが このとおり、ワシは無事ですよ、ということで（ ＾ω＾） そうそう、ここんところ更新が停滞気味でしたけれども もうすぐ「カービィ検定EX」を公開することができそうです（ ＾ω＾） 更新が停滞していたのは、ワシがしっかりコンテンツを作り込んでいたがゆえの事象でして 決してリア充ライフを満喫していたわけではありません（ ＾ω＾ ） ところで「カービィ検定EX」ですけど、もうこれ、スゴいですよ？ 「そんな問題まで出すか！？」と思うような問題のオンパレード、もうキチガイじみてる 本家ＱＭＡ７の「ワールドサッカー検定」よろしく マルチセレクト形式（線結び、一問多答、順番当て）の選択肢は４個で出題 これはワシからの挑戦状だと思ってください（ ＾ω＾） 具体的な公開日はまだ決めてませんけど、とりあえずは本家ＱＭＡ８の稼働を待とうかなと （配点を、本家ＱＭＡ８の検定試験モードのものに合わせようかなと思いますので） とういうわけで、カービィマニアの方々は覚悟しておいてください（ ＾ω＾） それにしても、こうも地震が多いと不安になりますね 地震そのものについては、静岡県民は日頃からめちゃめちゃ訓練されてますので それなりの大地震が起こったとしても、人が亡くなるようなことは珍しいと思うのですが （2009年に起きた震度６弱の地震でも死者は１名だと聞きました） ひょっと大地震が起きて、我がノートパソコンがあぼんしたら… 今まで温めてきた「カービィ検定EX」がパーです！！ おそらくワシ、死んじゃいますね（ ＾ω＾） 壊れたノートパソコンを前に、白目うつむいて、ぽっくり、みたいな 地震でただ一人だけ死亡、死因はショック死とかもう目も当てられません そんな事態にならないように、しっかりとバックアップはとっておこう そう思いました、まる（ ＾ω＾）（不謹慎ネタすいませんでした） 2011年2月24日 木曜日 ご無沙汰しております（ ＾ω＾） 無事に大学も春休みに突入しました 「春休み」といいましても、無事にゼミなんかも決まって 専門の勉強がいよいよ忙しくなる、そんな期間です（ ＾ω＾） 更新が停滞していたのは、ワシがそういった健全な大学生であるがゆえの事象でして 決して飲んだくれていたわけではありません（ ＾ω＾ ） さてさて今回はですね、1月30日の雑記にて解説したお正月問題の余談なんかを書いていきます もうちょっと早く更新しておくべきだったんですが、今回の企画にまつわる小ネタみたいなもんですね まだ読んでいないという人は、先に1月30日の雑記をお読みになってから読み進めてください （と、いいますのも、先にそっちを読んどかないと理解できないかなぁと…（；＾ω＾）） あと、下のほうに掲載してある 正解者一覧はご覧になりましたでしょうか？（ ＾ω＾） （改めて見てみますと、なんかＱＭＡで見覚えのある人も結構おられますねｗｗ） 当サイトでは、実は今までにも何度か問題を出題して答えを募ったことがありますが 今回いただいたメッセージは50以上、正解者も総勢28名と、過去最多の考察をいただきました 本当にありがとうございました ｍ（＿＿）ｍ では、問題の内容に関する小ネタを書いていきます（ ＾ω＾） 今回の問題は「最小のものを求めてください」とのことでしたが じゃあもしも「そーいう数字をすべて求めてください」みたいな問題だったらどうでしょう？ 求めきることはできるのでしょうか？ 問うたそばから解説にいっちゃいますが 解法１のように場合分けすれば手計算のみで効率良く求めることができます 解法１においては、以下の４パターンに場合分けしましたね パターン１：３個の電球が新たに点灯するとき パターン２：４個の電球が新たに点灯し、１個の電球が消されるとき パターン３：５個の電球が新たに点灯し、２個の電球が消されるとき パターン４：６個の電球が新たに点灯し、３個の電球が消されるとき それぞれのパターンについて 題意を満たす自然数ｎとは、以下のようなものでしたね（ ＾ω＾） パターン１：503 ≦ ｎ ≦ 670 で ｎ、2n、3n がいずれも平方数でないもの パターン２：336 ≦ ｎ ≦ 402 で 2n、3n、5n のどれかが平方数になるもの パターン３：252 ≦ ｎ ≦ 287 で 平方数であるもの パターン４：202 ≦ ｎ ≦ 223 で 平方数であるもの パターン４に該当するような自然数は存在せず パターン３に該当するような自然数は256だけですから あとはパターン１とパターン２に該当するものをすべて求めればいいわけですね まずはパターン２について考えてみましょう 簡単に分かりますように 2n、3n、5n のうち、二つ以上が平方数になることはありませんから パターン２に該当するような自然数をすべて求めてやろうと思ったら 「 2n が平方数になるｎ」「 3n が平方数になるｎ」「 5n が平方数になるｎ」を それぞれ求めてやればいいことになります（ ＾ω＾） 336 ≦ ｎ ≦ 402 ですので 672 ≦ 2n ≦ 804 ですから この範囲で考えられる平方数（2nの候補）としては 676（26の二乗）、729（27の二乗）、784（28の二乗） が該当しますね このうち 729 は２の倍数でないので除外されますが、他の二つについては それぞれ２で割り算してやることで 338 と 392 （これが対応するｎ）が得られます 338 と 392 はそれぞれ解の一つであると分かりますね（ ＾ω＾） 同様に 1008 ≦ 3n ≦ 1206 ですから この範囲で考えられる平方数（3nの候補）としては 1024（32の二乗）、1089（33の二乗）、1156（34の二乗） が該当しますね このうち３の倍数であるのは 1089 しかありません ３で割ると 363 ですから 363 は解の一つであると分かりますね（ ＾ω＾） 最後に 1680 ≦ 5n ≦ 2010 ですから この範囲で考えられる平方数（5nの候補）としては 1681（41の二乗）、1764（42の二乗）、1849（43の二乗）、1936（44の二乗） が該当しますが これらはいずれも５の倍数ではありませんので 336 ≦ ｎ ≦ 402 の範囲で 5n が平方数になるような自然数は存在しないと分かりますね（ ＾ω＾） 以上より、パターン２に該当するような自然数は 338、363、392 の３個だけであると求めることができました（ ＾ω＾） ではパターン１について考えてみましょう 「 503 ≦ ｎ ≦ 670 で ｎ、2n、3n がいずれも平方数でない自然数ｎ」を求めるわけですが これに該当するようなｎは沢山ありますので、ここでは逆に、該当しないものを除外する方針でいけば楽になります（ ＾ω＾） すなわち 503 ≦ ｎ ≦ 670 のうち「ｎ、2n、3n のいずれかが平方数になるもの」をすべて除外しちゃえばいいわけですね！ まずはｎそのものが平方数になってしまうものを除外しましょう 503 ≦ ｎ ≦ 670 の範囲にある平方数は 529（23の二乗）、576（24の二乗）、625（25の二乗）の三つですから これら三つはパターン１から除外されると分かります（ ＾ω＾） 次に 2n が平方数になってしまうものを除外します 1006 ≦ 2n ≦ 1340 ですから この範囲で考えられる平方数（2nの候補）としては 1024（32の二乗）、1089（33の二乗）、1156（34の二乗） 、1225（35の二乗） 、1296（36の二乗） が該当しますね パターン２のときと同様に、これらのうち２の倍数であるものについて 対応するｎを求めてやる（２で割る）と 512、578、648 が得られます この三つもパターン１から除外されると分かりました（ ＾ω＾） 最後に 3n が平方数になってしまうものを除外します 1509 ≦ 3n ≦ 2010 ですから この範囲で考えられる平方数（3nの候補）としては 1521（39の二乗）、1600（40の二乗）、1681（41の二乗）、1764（42の二乗）、1849（43の二乗）、1936（44の二乗） が該当しますね これらのうち３の倍数であるものについて、対応するｎを求めてやる（３で割る）と 507、588 が得られます この二つもパターン１から除外されると分かりました（ ＾ω＾） 以上より、パターン１に該当するような自然数は 503 ≦ ｎ ≦ 670 を満たす自然数（168個）のうち、以下の８個を除く160個の自然数 除かれる８個の自然数：507、512、529、576、578、588、625、648 …であると求めることができました（ ＾ω＾） これで、パターン１〜４がすべて尽くされました 結局のところ、題意に適するような数字は 160＋3＋1＋0＝164 で 全部で 164個 も存在するんですね これらのうち、最小なのが 256 というわけでした（ ＾ω＾） さて、28名の正解者の中に これと似たような解法により、最小解である 256 だけでなく 164個すべての解を、ちゃっかり求めてきた人がおられました（ ＾ω＾） １位のスマイリーさん うーん、やっぱりですけど、さすがですね（ ＾ω＾） 不特定多数の方々が閲覧する場ですので、個人情報に関わることは割愛しますが、とにかくスゴい人です ＱＭＡプレイヤーでもあり、武器は理系学問のサブジャンル「物理・化学」でしたかな？（ ＾ω＾） 以上のように、手計算で求めることも可能なわけですが 解法３・解法４のようにプログラムを駆使するのもアリということで 以下に、Ｃによるプログラムの一例（アルゴリズムとしては解法３による）を挙げておきます（ ＾ω＾） 実行すると、このような感じになります 手計算で求めたものと、一致してますね（ ＾ω＾）  例によって、上記のコードをJavaScriptで書き改めたものが以下になります メモ帳にコピペして、ＨＴＭＬ形式で保存し、ブラウザで開いてみてください（ ＾ω＾） さて、最後にもう一つ（ ＾ω＾） 今回の問題の答えは 256 だったワケですけれども どうしてわざわざコレを答えにしたのだと思いますか？（ ＾ω＾） もちろん、今年から自サイト上でも出題することにした関係上 容易に推測できるような答えにするわけにはいかなくなったというのもありますが だからといって、なぜ 256 なのか？ この数字はコンピュータの世界ではよく出てくる数字ですし それ自体がキレイな数字ですから、ぶっちゃけ、深く考えた人も少なかったかも知れませんが どうして2011年の幕開けに出題する問題の答えとしてコレを選んだのか？ 今回の問題に秘められた「最後の謎」とでもかこつけましょうか（ ＾ω＾） その答えですが… 256を五進数に変換してみてください（ ＾ω＾） え？ 計算するのが面倒臭い？ まったくもう、しかたないですね ほら、あとはボタンを押すだけにしときましたよ（ ＾ω＾） いかがでしょうか？ そう、そういうことなんですよ（ ＾ω＾） 「こんなもん気付くわけないだろう！！」と思うかも知れませんね 正直なところ、これは最後までバレないと思ってました（ ＾ω＾ ）← ところがですね、なんと、ここまで気付いた人が一人だけおられました ８位の９！さん 2011には３種類の数字しかでてきませんから もしかしたら「３進数とかかな？」などと思い浮かぶ人もいるかなとは思ってましたが うーん、まさか５進数なんてニッチなものまで考える人がおられるとは…（；＾ω＾） まさに Magnificent ですね！！（←言ってみたかっただけらしい） ちなみにこの人もＱＭＡプレイヤーですね（ ＾ω＾） 武器は「理系学問・並べ替え」で、２月に行われた大会「名匠戦」でも見事に同部門代表を獲得するなど 華々しい活躍をなさっております、はい（ ＾ω＾） …とまぁ、書くべきことはこんなところだったかな（ ＾ω＾） 繰り返しになりますが、今回の出題に参加してくださった皆様 本当にありがとうございました ｍ（＿＿）ｍ では今回はこんなところで（ ＾ω＾）ﾉｼ 2011年1月30日 日曜日 ご無沙汰しております（ ＾ω＾） そろそろ期末試験も間近となり、レポートなどに追われておりました 更新が停滞していたのは、ワシがそういった健全な大学生であるがゆえの事象でして 決して惰眠を貪っていたわけではありません（ ＾ω＾ ） さて今回はですね、1月4日の雑記にて出題したお正月問題の解答＆解説を書いていきます 問題はこんなのでしたね
正解者はこちらの面々（集計期間は2011年1月4日から七日間） おめでとうございます！！（ ＾ω＾）
ここより、解説（ ＾ω＾） 多くの解法に共通する考察（お膳立て） 多くの解法に共通する考察を考えていきます（ ＾ω＾） ステップを一つ飛ばしたところ 終了時に点灯している電球の個数は、本来の個数よりも３個多くなったとのことですが まずはこの「本来の個数」について考えてみましょう 作業を飛ばすことなく完遂した場合、何個の電球が点灯しているのでしょう？ また、点灯している電球の番号はどんな数字でしょう？ 各電球は、スイッチを押すたびに点灯と消灯が切り替わります（２回押すたびに元に戻る） 最初はすべての電球が消されている状態なのですから スイッチが奇数回押された電球が点灯する…（１） のだと言えますね ここで、特定の電球に着目して考えてみます 「番号ｙの電球のスイッチが、ステップｘで押される」とはどういうことか？ ステップｘとは「ｘの倍数のスイッチをすべて押す」という操作でしたから これはつまり「ｙがｘの倍数である」ということですね（ ＾ω＾） これをさらに言い換えますと「ｘがｙの約数である」となりますね これを踏まえまして、例えば番号６の電球にだけ着目して考えてみますと ステップ１：１は６の約数なので、スイッチが押される（点灯する） ステップ２：２は６の約数なので、スイッチが押される（消灯する） ステップ３：３は６の約数なので、スイッチが押される（点灯する） ステップ４：４は６の約数ではないので、スイッチは押されない（変わらない） ステップ５：５は６の約数ではないので、スイッチは押されない（変わらない） ステップ６：６は６の約数なので、スイッチが押される（消灯する） （７以上の数字は６の約数にはならないので、以降、６のスイッチが押されることはない） 番号６の電球の変遷は以上のようになりますね（ ＾ω＾） ６の約数であるステップ（１、２、３、６）のときにスイッチが押されています 押されたのは４回（偶数回）ですので、作業を完遂した場合、番号６の電球は消えているのですね 他の数字でも同様に考えてみますと、例えば 番号７の電球が押されるのは、７の約数であるステップ（１、７）のときだけ（押されるのは２回ですね） 番号８の電球が押されるのは、８の約数であるステップ（１、２、４、８）のときだけ（押されるのは４回ですね） 番号９の電球が押されるのは、９の約数であるステップ（１、３、９）のときだけ（押されるのは３回ですね） …とまぁ結局のところ、それぞれの電球のスイッチは 自分に付けられた数字の約数の個数だけ押される…（２） ことが分かると思います（ ＾ω＾） （１）と（２）を合わせて考えますと 2011ステップを完遂したとき、点灯している電球というのは 約数の個数が奇数個である番号の電球ということになりますね さて、では「約数の個数が奇数個である番号」とはどんな番号なんでしょう？ 結論から言えば、これはずばり「平方数」のことなのです（ ＾ω＾） その理由は（厳密な証明はさておき）以下のようなイメージで考えてみてください 例えば12について 12の約数の一つ、３で12を割ると（12÷３＝４）また12の約数の一つである４が出てきますね 逆に４で12を割ると（12÷４＝３）また３が出てきました（３×４＝４×３＝12なんだから、当たり前ですね） このような約数同士の対応関係のことを、ここでは仮に「対応」と呼ぶことにしますと 12の約数というのは、それぞれこのような対応になりますね （対応しているもの同士を掛け算すると元の数字になります）  約数である以上、元の数を割れば必ず商（対応する約数）が得られますから すべての約数について、対応する約数がただ一つだけ存在します 対応というのは二つずつのペアなのですから 多くの場合、約数の個数は偶数個になると分かりますね では、約数の個数が奇数個になるのはどんなときでしょう？ ここまでの文章の流れですと「そんなことあるの？」と思うかも知れませんが ずばり、こんなときがそうなりますね（ ＾ω＾）  対応しているもの同士を掛け算すれば元の数字になるので、このような場合 元の数字は、二つの同じ数字を掛け算したもの、つまり平方数ですね！ とまぁ、こんなところでよろしいでしょうか？（ ＾ω＾） どうしても腑に落ちない人は、１から順番に約数の個数を調べていってみてください 「おお、理由はともかく、たしかに平方数のときだけ奇数個っぽい！」と感じていただければ幸いです（；＾ω＾） さて、以上の考察により もしもステップを抜かすことなく完遂したとしたら 2011より小さな平方数44個（１、４、…（中略）…、1849、1936）が点灯していることなると分かりました 実は、ここまではそれなりに有名な話だったりするので それなりに数学が得意だという人は、問題を見た時点で「はいはい平方数平方数」と感じたことでしょう ここでは長々と説明しましたが、どの回答者もここまでは数行程度でサラッと述べておられました（ ＾ω＾） さて、もう一つお膳立てをしておきます（ ＾ω＾） これは前述のような考察というよりも、気付けたかどうかというものなんですが 「ステップｎを抜かす」というのは「完遂した状態に、ステップｎをもう一度やる」のと同じことですよね！？ つまり、この問題は 2011以下の平方数44個が点灯している状態から あるステップｎをやったところ、点灯している電球の個数が47個になった ｎとして考えられる最小の自然数はいくらか？ …と、言い換えることができるのです！ どうです、なかなか見通しがよくなったでしょう？（ ＾ω＾） 解法１：電球の点灯パターンで場合分け 該当者：→とおる→さん、げいスポむりさん、アリーナさん、いーづのさん、９！さん、あっそさん、レンさん、Mizusaさん、など （解が平方数かどうかで場合分けした方針もこちらに分類しました） 2011以下の平方数44個が点灯している状態から ステップｎをやったとき、点灯している電球の個数が３個増えるような状況としては 以下のように、何通りかの場合が考えられますね（ ＾ω＾） ・３個の電球が新たに点灯するとき ・４個の電球が新たに点灯し、１個の電球が消されるとき ・５個の電球が新たに点灯し、２個の電球が消されるとき ・６個の電球が新たに点灯し、３個の電球が消されるとき ・７個の電球が新たに点灯し、４個の電球が消されるとき ・（以下略） まずは第一番目の状況について考えてみましょう（ ＾ω＾） とりあえず、押されるスイッチの番号は ｎ、2n、3n の３個だけなのですから この状況になるには少なくとも 3n ≦ 2011 < 4n となっているハズです この場合になりうるｎの値の範囲は（上記の不等式を解いて）503 ≦ ｎ ≦ 670 と分かりますね ｎ、2n、3n の番号が付いた３個の電球が新たに点灯するには ｎ、2n、3n がいずれも平方数でなければいいですね（ ＾ω＾） 結局、第一番目の状況を満たすｎとは 503 ≦ ｎ ≦ 670 を満たす自然数ｎのうち ｎ、2n、3n がいずれも平方数とならないようなものと分かります 第二番目の状況について考えてみましょう（ ＾ω＾） 押されるスイッチの番号は ｎ、2n、3n、4n、5n の５個なのですから 少なくとも 5n ≦ 2011 < 6n となっているハズなので、これを解くと 336 ≦ ｎ ≦ 402 となりますね さて、これら５個の電球のうち、４個が新たに点灯して、１個が消されちゃうわけですから ｎ、2n、3n、4n、5n のうち、どれか一つだけが平方数なのだと分かりますね ただし、ｎが平方数のときは 4n も平方数になります（逆に 4n が平方数ならｎも平方数になる） 結局、第二番目の条件を満たすｎとは 336 ≦ ｎ ≦ 402 を満たす自然数ｎのうち 2n、3n、5n のどれかが平方数になるようなものと分かります 第三番目の状況について考えてみましょう（ ＾ω＾） 押されるスイッチの番号は ｎ、2n、3n、4n、5n、6n、7n の７個なのですから 少なくとも 7n ≦ 2011 < 8n となっているハズなので、これを解くと 252 ≦ ｎ ≦ 287 となりますね これら７個の電球のうち、５個が新たに点灯して、２個が消されちゃうわけですから ｎ、2n、3n、4n、5n、6n、7n のうち、どれか二つだけが平方数なのだと分かりますね その二つの平方数とは ｎ と 4n の組み合わせしか有り得ません（例えば、もしも 2n が平方数だったら、次は 8n になる） 結局、第三番目の条件を満たすｎとは 252 ≦ ｎ ≦ 287 を満たす平方数ｎ（256だけですね）と分かります 第四番目の状況について考えてみましょう（ ＾ω＾） 押されるスイッチの番号は ｎ、2n、3n、4n、5n、6n、7n、8n、9n の９個なのですから 少なくとも 9n ≦ 2011 < 10n となっているハズなので、これを解くと 202 ≦ ｎ ≦ 223 となりますね これら９個の電球のうち、６個が新たに点灯して、３個が消されちゃうわけですから ｎ、2n、3n、4n、5n、6n、7n、8n、9n のうち、どれか三つだけが平方数なのだと分かりますが その三つの平方数とは ｎ、4n、9n の組み合わせしか有り得ません 結局、第四番目の条件を満たすｎとは 202 ≦ ｎ ≦ 223 を満たす平方数ｎと分かりますが、これは存在しません 第五番目以降の状況については（第ｋ番目の状況とすると） 押されるスイッチの番号が ｎ、2n、3n、…、(2k+1)n の 2k+1個 なのに対して そのうち、平方数でなければならない番号の個数が k-1個 その組み合わせは最小の場合で ｎ、4n、…、(k-1)2n となるわけですが (k-1)2-(2k+1)=k2-4k=k(k-4) より ｋ≧５のときは 2k+1 ＜ (k-1)2 となってしまうので 題意を満たすような個数の平方数が 2k+1個 の中に存在することはできません よって、第五番目以降の状況は有り得ません 以上により、最小解は256と求まります！（ ＾ω＾）ｂ 答え：256 解法２：解となりうる値の範囲を絞り込んでいく 該当者：スマイリーさん、鼈甲さん、など Ａ＝（2011以下のｎの倍数のうち、平方数であるものの個数） Ｂ＝（2011以下のｎの倍数のうち、平方数でないものの個数） …とおきますと Ａ＋Ｂ＝（2011以下のｎの倍数の個数）になりますから これはガウス記号（床関数）を用いて Ａ＋Ｂ＝ [2011/n] …（１） と表せますね また、Ａというのは、作業を完遂した状態（すなわち44個の電球が点灯した状態）から ステップｎをやったときに、消されてしまう電球の個数を表しており Ｂというのは、同状況で新たに点灯する電球の個数を表しておりますね（ ＾ω＾） というわけで 44−Ａ＋Ｂ＝47 という関係式が満たされていると分かりますね 整理すると Ｂ＝Ａ＋３ となりますから、これを（１）に代入して ２Ａ＋３＝ [2011/n] …（２） が得られます（ ＾ω＾） さて、2011以下の平方数は全部で44個しかありませんので、Ａの値は44以下であるはずです すなわち Ａ ≦ 44 ですね これに手を加えてやると ２Ａ＋３ ≦ 91 となりますから これに （２）を代入すると [2011/n] ≦ 91 が得られ、これを解くと ｎ ≧ 22 であると分かります ｎの候補がしぼられたところで、もう一度Ａの値の範囲について考えてみます ｎの倍数であり、平方数でもある数値を小さいものから列挙していくと qn、4qn、9qn、16qn、25qn、…、k2qn、… というかたちで書けますね （ｋ、ｑは自然数 特にｑは qn が平方数となるような最小の自然数と定めておく） ｎ ≧ 22、ｑ ≧ １ なのですから、平方数 qn の候補として最も小さいのは 25 であると分かります さて、2011以下の最大の平方数は 442＝1936 ですから Ａとしてカウントされる平方数は、これ以下でなければなりません しかし 92qn ≧ 81×25 ＝ 2025 ＞ 1936 ですから Ａとしてカウントされるような平方数は、存在したとしても８個までであると分かります すなわち Ａ ≦ ８ ですね これに手を加えてやると ２Ａ＋３ ≦ 19 となりますから これに （２）を代入すると [2011/n] ≦ 19 が得られ、これを解くと ｎ ≧ 101 であると分かります ぐっと候補が絞り込めましたね（ ＾ω＾） 以下、同様の議論を繰り返すことで、さらにｎの値の候補を絞り込んでいきます ｎ ≧ 101、ｑ ≧ １なので、平方数 qn の候補として最も小さいのは 121 であり 52qn ≧ 25×121 ＝ 3025 ＞ 1936 だから Ａ ≦ ４ と分かるので これから [2011/n] ≦ 11 が得られ、これを解くと ｎ ≧ 168 であると分かる ｎ ≧ 168、ｑ ≧ １なので、平方数 qn の候補として最も小さいのは 169 であり 42qn ≧ 16×169 ＝ 2704 ＞ 1936 だから Ａ ≦ ３ と分かるので これから [2011/n] ≦ ９ が得られ、これを解くと ｎ ≧ 202 であると分かる ｎ ≧ 202、ｑ ≧ １なので、平方数 qn の候補として最も小さいのは 225 であり 32qn ≧ 9×225 ＝ 2025 ＞ 1936 だから Ａ ≦ ２ と分かるので これから [2011/n] ≦ ７ が得られ、これを解くと ｎ ≧ 252 であると分かる ここからは同様の議論をしても値を絞り込むことはできませんので 252は題意を満たすかどうか？ 253は題意を満たすかどうか？ 254は題意を満たすかどうか？ …と、順番に確認していくことになるわけですが、すぐに256に行き当たりますので これこそが題意を満たす最小のｎであると結論付けることができます！（ ＾ω＾）ｂ 答え：256 解法３：プログラムにやらせる 該当者：みかみにるすさん、など プログラミングによる解法です（ ＾ω＾） 言い忘れてましたが、こういった解法も大歓迎 一口にプログラミングといっても、いろんな方法がありますね 基本的には理詰めでやって、一部分だけをプログラムに頼ったり まーったくなーんにも考えずに、問題文が示すままのプログラムを書いたり そこらへんは人によって様々でしょうが、ここでは一例として （何も数学っぽい考察はせずに）プログラミングだけで解く一例を挙げておきます（ ＾ω＾） この解法についていえば、前述のお膳立てとかはまったく必要ありません ・Ｃによるプログラムの一例 このプログラムはどういうものかと言いますと まずは最初に、ステップを飛ばさずに完遂した場合の電球の個数を算出（その値はnonSkipへ格納） あとはステップ１を飛ばした場合、ステップ２を飛ばした場合、…と、順番に試していき 題意を満たしたところで停止し、そのときに飛ばしたステップの番号（これが答え）を表示しております（ ＾ω＾） 一応、多少は内容的なことにも触れておきますと 配列変数の bulb は、各電球の状態を格納するためのものです（ただし bulb[0] だけは、電球のカウントに利用しました） 値が０ならば消灯を表し、値が１ならば点灯を表しており 例えば bulb[12] の値が０ならば、12番目の電球は消えているということです これにより、点灯している電球の個数は bulb[1] から bulb[2011] までの総和を計算することで求められます（関数 count がそれ） まぁ、所々にコメントも付けてますし、その手の人なら読めば理解していただけるかなと思います（ ＾ω＾） 以下は、これを実行したところ  これにより、答えは256であると求まりました！！（ ＾ω＾）ｂ 答え：256 ここからはオマケ（ ＾ω＾） プログラミングとか分からねぇよ！ Ｃの実行環境とかねぇよ！ …という方々のため ブラウザ上で動作するように上記のコードを書き直したものを用意しました（ ＾ω＾） メモ帳を起動し、以下のコードをコピペして、拡張子を .html にして保存し、ブラウザで開けば実行可能ですので 「おお、たしかに答えが出力された！」と感じていただくとともに ご自分で改造してみるなりして、理解に役立ててください（ ＾ω＾）ｂ 解法４：条件式を導き、途中からはプログラムor虱潰し 該当者：ち○�j渺凡欷゛!!さん、など 解法２より Ａ＝（2011以下のｎの倍数のうち、平方数であるものの個数） …とすれば ２Ａ＋３＝[2011/n] が成立しており、これを満たすような最小のｎこそが答えです というわけで、このあたりからプログラムにやらせちゃえば 解法その２ほど考察をせず、解法その３ほど長いコードを書かずに 答えを求めることができるというわけです（ ＾ω＾） ・Ｃによるプログラムの一例 解法その３と比べれば仕組みは単純（ ＾ω＾） 2011以下のｎの倍数のうち、平方数であるものの個数を求めて（その値はAへ格納） あとはそれが ２Ａ＋３＝[2011/n] を満たしているか確かめているだけ こーいう「どのあたりから計算機の力を借りるか」というのも、効率的な解法を考える上では重要ですね（ ＾ω＾） 実行結果はこの通り（ ＾ω＾）  これにより、答えは256であると求まりました！！（ ＾ω＾）ｂ 答え：256 以下はオマケ（ ＾ω＾）（使用法は 解法３ を参照してね！） 寄せられた解法は以上です（ ＾ω＾） ちなみに、あらかじめ想定していた解法は１、３、４でした 毎年、予想していなかった解法や着想もあり、楽しませていただいております （正解者だけでなく）回答者の皆様、本当にありがとうございました（ ＾ω＾） ひとまず、本日分の雑記はここまでということで 「ああ、もう疲れた、ワシもう１年は雑記書かねぇ（ ＾ω＾ ）」と言いたいところですが 数日後にまた、今回の出題に関する全体的な雑記などを書きます、お楽しみに（ ＾ω＾） 2011年1月4日 火曜日 あけましておめでとうございます（ ＾ω＾ ） お正月と言えば、年賀状でしょうけれども 近年はメールなどで済ませてしまうことも多くなり ぶっちゃけ、今年は一枚も書いておりません（ ＾ω＾） （社会人とかになったら、そういうわけにもいかなくなるのでしょうが…） 新年早々、すげー迷惑な話かも知れませんが 毎年、ワシは年賀状に数学の問題を書いておりました（ ＾ω＾） 答えが西暦とかになるように数値を工夫しておくのですね （去年の年賀状に書いた問題の答えは2010平方cmにしました） 数学なんて大嫌いだなんて人は もう破り捨てたくなるような年賀状なのでしょうが いわゆる「るいとも」というやつなのか、みなさん毎年メールなどで 自分なりの考えやら、答えに至る過程を送りつけてくれまして 毎年、色々な方針の解法やら着想が集まるのでした（ありがとうございます） さて、せっかくですので、今年からはココでも出題することにします（ ＾ω＾） みなさん、こんなサイトにお越しになるくらいですから、お好きなんでしょ？（爆） というわけで、問題だよ（ ＾ω＾ ）
これは今年の東大入試に出る！！（ ＾ω＾ ）（出ねーよ！） さて、今回の問題については明らかに2011が答えではありませんね とはいえ、答えの値は意図的に設定しましたので、余裕がある人は 「どうして今年の問題の答えをその値にしたのか？」なことも考えてみてください 答えと解説は１週間後以降の気が向いたときにでも書こうかなと思ってます（ ＾ω＾） ※追記（1/12 0:00） 答えの送りつけを締め切らせていただきました！ 数日以内に解答＆解説を書いていきます（ ＾ω＾） |
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